Calculo de probabilidades

Probabilidad:
- Experimentos aleatorios y sucesos.
- Regla de Laplace.
- Probabilidad simple y compuesta.
- Probabilidad en experimentos no equiprobables.
- Probabilidad condicionada.
- Tablas de contingencia.
Recuerda lo fundamental
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL AZAR. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
• Repetimos un experimento un número N de veces, todo lo grande que deseemos. Anotamos
el n.º de veces que sale un suceso S determinado. A ese número le llamamos frecuencia
absoluta f(s) de S.
• A medida que N crece, el cociente
f(s)
N
(frecuencia relativa de S) se estabiliza en torno a un valor.
• Consecuencias: Al hacer una experiencia aleatoria con un instrumento irregular, estimamos la
probabilidad de un suceso S asignándole el valor p =
f(s)
N
(p es una medida de la presencia
del suceso en el experimento).
LEY DE LAPLACE
• Si realizamos una experiencia aleatoria con un instrumento regular (dado no trucado, moneda, etc.),
la probabilidad de un suceso S es el cociente p =
número de casos favorables a S
números de casos posibles
EJEMPLO: Probabilidad de sacar n.º primo al tirar un dado: S = {2, 3, 5}
p = ………………….
EXPERIENCIAS COMPUESTAS
El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se simplifica si se descompone
en experiencias simples. Estas pueden ser independientes o dependientes.
Experiencias independientes. Dos experiencias son independientes cuando ……………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….
En este caso, P[S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….
Experiencias dependientes. Dos experiencias son dependientes cuando …………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….
En este caso, P[S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = ……………………………………………………………………
EJEMPLOS:
• Las experiencias “lanzar un dado” y “lanzar una moneda” son ……………………………………………
Por tanto, P[3 en el dado y CARA en la moneda] = …………………………………………………………….
• Si tenemos una bolsa con 3 bolas blancas y 2 negras y realizamos dos extracciones,
las experiencias “color de la 1.ª bola” y “color de la 2.ª bola” son ……………………………………….
Por tanto, P[blanca la 1.ª y blanca la 2.ª] = ……………………………………………………………………

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PRACTICA

Ficha de trabajo A
1 Si lanzas una moneda 3 veces:
a) ¿Cuántos resultados posibles obtienes?
b) ¿Qué probabilidad tienes de sacar solo dos caras?
c) ¿Y de no sacar más de una cruz?
2 Extraemos una carta de una baraja de 40. Calcula:
a) Probabilidad de que sea AS.
b) Probabilidad de que sea AS o FIGURA.
c) Probabilidad de sacar AS o COPAS.
3 De una urna con 5 bolas rojas, 3 negras y 2 blancas extraemos una bola, la reponemos
a la urna y luego hacemos una 2.ª extracción.
a) ¿Qué probabilidad hay de que no salga blanca en ambas?
b) ¿Y si después de la 1.ª extracción no reponemos la bola?
4 En un juego, el jugador gana si, al lanzar una moneda 3 veces y extraer una carta de
una baraja, el resultado sea: “No sacar más de una cruz” y “No salgan espadas”. En
caso contrario pierde. ¿Qué probabilidad tiene el jugador de ganar?
Nombre y apellidos: ……………………………………………………………………………………………………………………
Curso: …………………………………………………………… Fecha: …………………………………………………………..
Cálculo de probabilidades
UNIDAD
Nombre y apellidos: ……………………………………………………………………………………………………………………
Ficha de trabajo A
APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO
Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante
una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta:
“¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré una carta de la baraja.
— Si sale cara 2 o 3 veces y la carta es de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta.
— Si sale cara 0, 1 o 4 veces y la carta es de Oros o Copas, entonces le daré a usted
un 50% más de lo que apostó.
— Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!”
El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y decidís
hacer unos cuantos cálculos.
1 En primer lugar, os preguntáis cuál será la probabilidad de sacar cara 0, 1 o 4 veces.
2 Luego, queréis calcular la probabilidad de sacar 2 o 3 caras.
3 Pasáis a las cartas. Os ponéis a calcular la probabilidad de sacar Oros o Copas al
extraer una carta de la baraja.
4 ¿Qué probabilidad tenéis de ganar la apuesta? ¿Y de perderla? ¿Y de seguir jugando
sin ganar ni perder?
5 ¿Qué se espera que ocurra si el apostador pone x euros en el platillo? Os dais cuenta
de que tenéis que analizar la función de ganancia o pérdida E(x) = 1,5xp – xq,
donde p es la probabilidad de ganar y q es la probabilidad de perder.
6 ¿Cuál será el resultado más probable si apostáis 100 euros entre todos? ¿Y si pudierais
jugar 1 000 euros?
PRACTICA
1 Tengo 6 tarjetas A, B, C, D, E, F.
a) ¿De cuántas formas distintas puedo escoger dos de ellas?
b) ¿Cuántas de esas formas tienen solo una vocal?
c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos consonantes?
2 En una serie semifinal de 100 m lisos de atletismo, se clasifican los dos primeros
para la final. Participan 6 atletas.
a) ¿De cuántas formas distintas pueden clasificarse?
b) De los 6 atletas, tres son del mismo equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que los
dos clasificados sean del mismo equipo?
3 Para una oposición, el temario consta de 25 temas y, para aprobarla, hay que contestar
bien a dos temas extraídos al azar. Luis ha preparado 15 temas.
a) ¿De cuántas formas distintas le pueden salir dos temas estudiados?
b) ¿Qué probabilidad tiene de aprobar?
c) ¿Es más probable que apruebe Begoña que, en su oposición de 30 temas, ha preparado
17?
APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO
Ficha de trabajo B
Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante
una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta:
“¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré dos cartas de la baraja.
— Si sale cara 2 o 3 veces y las cartas son de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta.
— Si sale cara 0, 1 o 4 veces y las cartas son de Oros o Copas, entonces le daré a
usted un 30% más de lo que apostó.
— Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!”
El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y decidís
hacer unos cuantos cálculos.
1 ¿Cuál es la probabilidad de sacar cara 0 veces? ¿Y la de sacarla una vez? ¿Y dos
veces? ¿Y tres veces? ¿Y cuatro veces?
2 ¿De cuántas formas distintas pueden extraerse dos cartas cualesquiera de una baraja?
3 ¿De cuántas formas pueden salir Oros o Copas?
[Analiza el número de veces que puede salir (O, O), (C, O) o (C, C)].
4 ¿Cuál es la probabilidad de que gane la apuesta el participante? ¿Y de que pierda?
5 Si apostáis 1 euro, ¿qué se espera que ocurra? Tenéis que analizar la expresión
E(x) = 1,3 xp –xq para x = 1, donde p es la probabilidad de ganar y q la de perder.
6 ¿Y qué ocurrirá si apostáis 1000 euros?
Soluciones
UNIDAD
Ficha de trabajo A
PRACTICA
1 a) 23 = 8 resultados
b) {CC+, C+C, +CC} 8 p =
3
8
c) {CCC, CC+, C+C, +CC} 8 p = 4
8
2 a) p = 4
40
= 1
10
b) p = 4
40
+ 12
40
= 16
40
c) P[A o C] = P[A] + P[C] – P[As de Copas] =
= 4
40
+ 10
40
– 1
40
= 13
40
3 a) P[B
– y B
–] = 8
10
· 8
10
= 64
100
b) P[B
–
1 y B
–
2] = 8
10
· 7
9
= 56
90
4 P[No sacar más de una cruz] = 4
8
P[No espadas] = 30
40
= 3
4
P[Ganar] = 4
8
· 3
4
= 3
8
APLICA
1 P[0, 1 o 4] = 6
16
= 3
8
2 P[2 o 3] = 10
16
= 5
8
3 P[Oros o Copas] = 1
2
4 P[ganar] = 6
32
= 3
16
P[perder] = 10
32
= 5
16
P[seguir jugando] = 16
32
= 1
2
5 Se espera que el resultado sea:
E(x) = 1,5x · 6
32
– 10x
32
= –x
32
El apostador perderá 1/32 de lo que apueste.
6 E(100) = –3,13
E(1 000) = –31,25
Ficha de trabajo B
PRACTICA
1 a) C6, 2 = 6 · 5
2 · 1
= 15
b) Con una vocal (A o E) hay 4 formas distintas.
Luego hay 8 formas distintas con una
vocal cualquiera.
c) Dos consonantes se extraen de C4, 2 = 6
formas.
Luego p = 6
15
= 2
5
.
2 a) C6, 2 = 15
b) Tres de ellos se clasifican de C3,2 = 3 formas.
Luego p = 3
15
= 1
5
.
APLICA
1 P[sacar cara 0 veces] = 1
16
P[sacar cara 1 vez] = 4
16
P[sacar cara 2 veces] = 6
16
P[sacar cara 3 veces] = 4
16
P[sacar cara 4 veces] = 1
16
2 C40, 2 = 780 formas distintas.
3 Oros y Copas salen de C10, 1 · C10, 1 = 100
maneras.
Copas y Copas salen de C10, 2 = 45 formas.
Oros y Oros salen de C10, 2 = 45 formas.
Por tanto, Oros o Copas saldrán de 190 formas.
4 La probabilidad de ganar, p, es de 19
208
= 0,09.
La probabilidad de perder, q, es de 95
624
= 0,15.
5 E(1) = –0,033, es decir, se perderá 3 cént.
6 En ese caso, se perderán 30 euros.
b)Hay 28 sucesos elementales.
c) A = {2-3, 1-4, 0-5}; B = {0-6, 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6}
d)No; no tienen en común ningún suceso elemental (A I B = ∅)
e) P[A] = ≈ 0,11; P[B] = = 0,25; P[A I B] = P[∅] = 0
9 Extraemos una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que:
a) La suma de puntos sea igual a 6.
b) La suma de puntos sea menor que 4.
c) Sea una ficha “doble”.
En el dominó hay 28 fichas; la ficha es igual que la (solo hay una ficha,
no dos)
a) P[SUMA SEA IGUAL A 6] = =
b)P[SUMA SEA MENOR QUE 4] = =
c) P[FICHA “DOBLE”] = =
10 Lanzamos dos dados y sumamos los puntos obtenidos. Con ayuda de una
tabla como la de la primera página de la unidad, calcula la probabilidad de
que la suma sea:
a) Igual a 9 b) Igual a 7 c) Menor que 10 d) 5 ó 6
¿Cuál es la suma que tiene mayor probabilidad?
a) P[SUMA 9] = =
b)P[SUMA 7] = =
c) P[SUMA MENOR QUE 10] = 1 – P[SUMA 10 O MÁS] = 1 – = =
d)P[SUMA 5 O 6] = =
La suma con mayor probabilidad es P[SUMA MENOR QUE 10].
1 Se hace girar la flecha y se observa sobre qué número se detiene. Calcula las
probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Obtener un número par.
b) Obtener un número primo.
c) Obtener 5 o más.
d) Que no salga el 7.
a) P[PAR] = =
b)P[PRIMO] =
c) P[5 O MÁS] = =
d)P[NO 7] = 1 – P[7] = 1 – =
2 Extraemos una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que:
a) La suma de puntos sea igual a 6.
b) La suma de puntos sea menor que 4.
c) Sea una ficha “doble”.
En el dominó hay 28 fichas; la ficha es igual que la (solo hay una ficha,
no dos)
a) P[SUMA SEA IGUAL A 6] = =
b)P[SUMA SEA MENOR QUE 4] = =
c) P[FICHA “DOBLE”] = =
3 Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y las ponemos
en una bolsa. Extraemos una letra al azar.
a) Escribe los sucesos elementales de este experimento aleatorio. ¿Tienen todos
la misma probabilidad?
b) Escribe el suceso “obtener vocal”, y calcula su probabilidad.
c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?