Proposición lógica
Antes de dar el concepto de lo que es una proposición, trataremos de establecer cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas:
a. 9 es divisible por 4.
b. Miguel Grau tuvo úlcera estomacal.
c. 6 es un número entero y par.
d. ¿Qué tiempo hace hoy?
e. ¡Socorro!
f. x + 3 > 5
Después de analizar cada una de ellas concluímos que (a) es falsa y (c) es verdadera; respecto de (b) es probable que dudemos en responder, pero lo cierto es que es o verdadera o falsa y no ambas ya que en la realidad debe haber ocurrido que Miguel Grau tuvo o no úlcera estomacal, pero sólo una de las posibilidades es correcta. Por otra parte notamos que no tiene sentido afirmar que (d) y (e) son verdaderas o falsas y finalmente para establecer la verdad o falsedad de (f) necesitamos conocer el valor de “x” y no lo tenemos. A los enunciados que como (a), (b) y (c) son unívocamente verdaderos o falsos se les denomina proposiciones; por esta razón (d) y (e) no son proposiciones (En general las preguntas y las exclamaciones no son proposiciones). Debemos anotar también que la expresión (f), si bien no es proposición, depende del valor de “x” para serlo; a este tipo de expresiones se les denomina funciones proposicionales o enunciados abiertos.
Antes de dar el concepto de lo que es una proposición, trataremos de establecer cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas:
a. 9 es divisible por 4.
b. Miguel Grau tuvo úlcera estomacal.
c. 6 es un número entero y par.
d. ¿Qué tiempo hace hoy?
e. ¡Socorro!
f. x + 3 > 5
Después de analizar cada una de ellas concluímos que (a) es falsa y (c) es verdadera; respecto de (b) es probable que dudemos en responder, pero lo cierto es que es o verdadera o falsa y no ambas ya que en la realidad debe haber ocurrido que Miguel Grau tuvo o no úlcera estomacal, pero sólo una de las posibilidades es correcta. Por otra parte notamos que no tiene sentido afirmar que (d) y (e) son verdaderas o falsas y finalmente para establecer la verdad o falsedad de (f) necesitamos conocer el valor de “x” y no lo tenemos. A los enunciados que como (a), (b) y (c) son unívocamente verdaderos o falsos se les denomina proposiciones; por esta razón (d) y (e) no son proposiciones (En general las preguntas y las exclamaciones no son proposiciones). Debemos anotar también que la expresión (f), si bien no es proposición, depende del valor de “x” para serlo; a este tipo de expresiones se les denomina funciones proposicionales o enunciados abiertos.
De lo anterior se desprende que:
Una proposición es toda expresión libre de ambigüedad y que tiene la propiedad de que es verdadera o falsa, pero sólo una de ellas. Si una proposición es verdadera se le asignará el valor de verdad simbolizado por “V” y si es falsa se le asignará el valor de verdad simbolizado por “F”.
Notación: Representaremos las proposiciones por letras minúsculas de la segunda mitad del alfabeto, como: “p”; “q”; “r”; “s”, etc, que llamaremos variables propo- sicionales.
Conectivos u operadores lógicos
A partir de dos proposiciones dadas podemos formar una tercera, si las unimos mediante expresiones como “y”; “o”; “si ………. entonces”; “……….. si y solo si ………..”, etc. A estas expresiones de enlace los llamaremos conectivos u operadores
Por ejemplo:
p: 20 es un número par.
q: 20 es divisible por 5.
“p” y “q”: 20 es un número par y es divisible por 5.lógicos.
A. La negación (~)
Representa la inversión del valor de verdad de una proposición.
B. Conjunción (Ù)
Dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra “y” para formar una nueva proposición.
C. Disyunción inclusiva (Ú)
Dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra “o” para formar una nueva proposición.
D. La condicional (®)
Si “p” y “q” representan proposiciones cualesquiera, la condicional de “p” y “q” se denota por “p → q” y se lee “si p, entonces q”. En “p → q”, la proposición representada por “p” se denomina antecedente y la representada por “q”, consecuente. Se dice también que el antecedente implica al consecuente.
E. La bicondicional («)
Se denota por “p « q” y se lee “p si y solo si q”. “p « q” afirma que “p ® q” y a la vez “q ® p” esto es que deben darse las dos condicionales.
Tabla de verdad
A menudo es necesario representar proposiciones compuestas que pueden a su vez tener como componentes otras proposiciones compuestas; en este caso es necesario el uso de los signos de colección (paréntesis, corchetes, etc). A esta representación mediante variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de colección la llamaremos fórmula proposicional.
Una proposición es toda expresión libre de ambigüedad y que tiene la propiedad de que es verdadera o falsa, pero sólo una de ellas. Si una proposición es verdadera se le asignará el valor de verdad simbolizado por “V” y si es falsa se le asignará el valor de verdad simbolizado por “F”.
Notación: Representaremos las proposiciones por letras minúsculas de la segunda mitad del alfabeto, como: “p”; “q”; “r”; “s”, etc, que llamaremos variables propo- sicionales.
Conectivos u operadores lógicos
A partir de dos proposiciones dadas podemos formar una tercera, si las unimos mediante expresiones como “y”; “o”; “si ………. entonces”; “……….. si y solo si ………..”, etc. A estas expresiones de enlace los llamaremos conectivos u operadores
Por ejemplo:
p: 20 es un número par.
q: 20 es divisible por 5.
“p” y “q”: 20 es un número par y es divisible por 5.lógicos.
A. La negación (~)
Representa la inversión del valor de verdad de una proposición.
B. Conjunción (Ù)
Dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra “y” para formar una nueva proposición.
C. Disyunción inclusiva (Ú)
Dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra “o” para formar una nueva proposición.
D. La condicional (®)
Si “p” y “q” representan proposiciones cualesquiera, la condicional de “p” y “q” se denota por “p → q” y se lee “si p, entonces q”. En “p → q”, la proposición representada por “p” se denomina antecedente y la representada por “q”, consecuente. Se dice también que el antecedente implica al consecuente.
E. La bicondicional («)
Se denota por “p « q” y se lee “p si y solo si q”. “p « q” afirma que “p ® q” y a la vez “q ® p” esto es que deben darse las dos condicionales.
Tabla de verdad
A menudo es necesario representar proposiciones compuestas que pueden a su vez tener como componentes otras proposiciones compuestas; en este caso es necesario el uso de los signos de colección (paréntesis, corchetes, etc). A esta representación mediante variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de colección la llamaremos fórmula proposicional.
De acuerdo con la definición, ¿cuántas de las siguientes expresiones son proposiciones?
* La división entre cero no existe.
* 4973 es un número primo.
* Micaela Bastidas murió a los 14 años.
* El principito no podía comprender a los adultos.
* ¿Miguel Grau nació en Piura?
* ¡Vive la experiencia!
* Mi mejor experiencia, fue a los 17 años.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
* La división entre cero no existe.
* 4973 es un número primo.
* Micaela Bastidas murió a los 14 años.
* El principito no podía comprender a los adultos.
* ¿Miguel Grau nació en Piura?
* ¡Vive la experiencia!
* Mi mejor experiencia, fue a los 17 años.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son simples?
* 24 es número compuesto.
* El número 20 es par y el 15 es impar.
* Los números 40 y 27 son pares.
* Juan y Pedro son primos.
* Juan y Pedro son peruanos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
* Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
* 24 es número compuesto.
* El número 20 es par y el 15 es impar.
* Los números 40 y 27 son pares.
* Juan y Pedro son primos.
* Juan y Pedro son peruanos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
* Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8.
II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.
III. Madrid está en España o Londres está en Francia.
a) VFV b) VVV c) VFF
d) FVF e) FFF
II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.
III. Madrid está en España o Londres está en Francia.
a) VFV b) VVV c) VFF
d) FVF e) FFF
Publicado por:
Prof. Miguel Angel
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